Calculateur d'équation quintique

Qu'est-ce qu'une équation quintique ?

Une équation quintique est une équation polynomiale de degré 5. C'est l'équation polynomiale générale la plus complexe qui ne peut pas être résolue par radicaux (comme le prouve le théorème d'Abel-Ruffini). La forme générale d'une équation quintique est :

\[ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0\]

Où \(a \neq 0\) et \(a, b, c, d, e,\) et \(f\) sont des nombres réels.

La formule de l'équation quintique

Contrairement aux équations quadratiques, cubiques ou quartiques, il n'existe pas de formule algébrique générale pour résoudre les équations quintiques en utilisant des radicaux. Cependant, nous pouvons trouver des approximations numériques des racines en utilisant diverses méthodes :

• Méthode de Newton
• Méthode de Laguerre
• Algorithme de Jenkins-Traub
• Méthode de Durand-Kerner

Calcul étape par étape

1. Entrez les coefficients \(a, b, c, d, e,\) et \(f\) de l'équation quintique.
2. Choisissez une méthode numérique (par exemple, la méthode de Newton) pour approximer les racines.
3. Définissez une estimation initiale pour une racine.
4. Appliquez la méthode choisie de manière itérative pour affiner l'approximation.
5. Une fois qu'une racine est trouvée, utilisez la déflation polynomiale pour réduire le problème à un degré inférieur.
6. Répétez les étapes 3 à 5 jusqu'à ce que toutes les racines soient trouvées.
7. Vérifiez les racines en les substituant dans l'équation originale.

Exemple et représentation visuelle

Considérons l'équation quintique : \(x^5 - 3.5x^4 + 2.75x^3 + 2.125x^2 - 3.875x + 1.25 = 0\)

La courbe bleue représente la fonction quintique, et les points rouges indiquent les emplacements approximatifs des racines où la courbe coupe l'axe des x.