Calculateur d'équation cubique
Qu'est-ce qu'une équation cubique ?
Une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, généralement écrite sous la forme \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), où \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\) sont des constantes et \(a \neq 0\).
Formule de Cardan
La formule de Cardan est une méthode pour résoudre les équations cubiques. Elle a été publiée par Gerolamo Cardano en 1545 et est considérée comme l'une des découvertes mathématiques importantes du 16ème siècle.
La formule
Pour une équation cubique sous la forme générale \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), la formule de Cardan donne la solution :
\[ x = S + T - \frac{b}{3a} \]
Où :
- \( S = \sqrt[3]{R + \sqrt{Q^3 + R^2}} \)
- \( T = \sqrt[3]{R - \sqrt{Q^3 + R^2}} \)
- \( Q = \frac{3ac - b^2}{9a^2} \)
- \( R = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3} \)
Signification de S, T, Q et R
- S et T : Ce sont les deux racines cubiques qui forment la base de la solution. Elles représentent les deux parties de la solution qui, lorsqu'elles sont additionnées (avec un terme de correction), donnent l'une des racines de l'équation cubique.
- Q : Ce terme est lié aux coefficients de l'équation cubique et aide à simplifier le processus de résolution.
- R : Ce terme, avec Q, aide à déterminer la nature des racines (si elles sont toutes réelles, ou s'il y a des racines complexes).
La quantité \(Q^3 + R^2\) est connue comme le discriminant de l'équation cubique. Sa valeur détermine si l'équation a trois racines réelles, ou une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
Comment S, T, Q et R mènent à la solution
- D'abord, calculez Q et R en utilisant les coefficients a, b, c et d de l'équation cubique.
- Utilisez Q et R pour calculer le discriminant \(Q^3 + R^2\).
- Si \(Q^3 + R^2 > 0\), il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
- Si \(Q^3 + R^2 = 0\), toutes les racines sont réelles, et au moins deux sont égales.
- Si \(Q^3 + R^2 < 0\), les trois racines sont réelles et distinctes.
- Calculez S et T en utilisant les formules données ci-dessus.
- La première racine est donnée par \(x_1 = S + T - \frac{b}{3a}\).
- S'il y a des racines complexes, elles sont données par :
\[x_2 = -\frac{1}{2}(S+T) - \frac{b}{3a} + i\frac{\sqrt{3}}{2}(S-T)\]
\[x_3 = -\frac{1}{2}(S+T) - \frac{b}{3a} - i\frac{\sqrt{3}}{2}(S-T)\]
- Si toutes les racines sont réelles, les deux autres racines peuvent être trouvées en utilisant les relations entre les racines et les coefficients de l'équation cubique.
Étapes de résolution
- Assurez-vous que l'équation cubique est sous la forme standard \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
- Calculez Q et R en utilisant les formules fournies
- Déterminez S et T
- Appliquez la formule \(x = S + T - \frac{b}{3a}\) pour trouver une racine
- Utilisez la division polynomiale ou d'autres méthodes pour trouver les racines restantes
Exemple
Considérons l'équation cubique : \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)
En utilisant la formule de Cardan, nous pouvons trouver que cette équation a trois racines réelles : 1, 2 et 3.
Dans ce graphique, la courbe bleue représente notre équation cubique. Les points rouges indiquent où la courbe coupe l'axe des x, correspondant aux racines de l'équation à x = 1, 2 et 3.