Calculatrice de Convolution

Qu'est-ce que la Convolution ?

La convolution est une opération mathématique qui combine deux signaux pour produire un troisième signal. Elle est largement utilisée dans divers domaines tels que le traitement du signal, le traitement d'image et la théorie des probabilités. Il existe deux types principaux de convolution : la convolution linéaire et la convolution circulaire.

Convolution Linéaire

La convolution linéaire est la forme standard de convolution. C'est comme faire glisser un signal sur un autre, multiplier les parties qui se chevauchent et additionner les résultats. Cette opération étend la longueur du signal de sortie au-delà de celle des signaux d'entrée.

Formule de Convolution Linéaire

\[ (f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] \cdot g[n-m] \]

Où :

• \(f\) et \(g\) sont les signaux d'entrée
• \(*\) désigne l'opération de convolution
• \(n\) est l'indice du signal de sortie
• \(m\) est l'indice glissant

Convolution Circulaire

La convolution circulaire, également connue sous le nom de convolution cyclique, est un cas particulier où les signaux sont traités comme s'ils étaient périodiques. Cela signifie que la fin du signal se replie sur le début. Elle est souvent utilisée dans le traitement du signal numérique et l'analyse de Fourier.

Formule de Convolution Circulaire

\[ (f \circledast g)[n] = \sum_{m=0}^{N-1} f[m] \cdot g[(n-m) \bmod N] \]

Où :

• \(f\) et \(g\) sont les signaux d'entrée
• \(\circledast\) désigne la convolution circulaire
• \(N\) est la période (généralement la longueur des signaux)
• \(\bmod\) est l'opération modulo

Étapes de Calcul (Convolution Linéaire)

1. Prenez vos deux signaux d'entrée
2. Retournez (inversez) l'un des signaux
3. Faites glisser le signal retourné sur l'autre
4. À chaque étape, multipliez les valeurs qui se chevauchent
5. Additionnez ces multiplications
6. Cette somme est un point de votre signal de sortie
7. Répétez pour toutes les positions pour obtenir le signal convolué complet

Exemple et Représentation Visuelle

Utilisons un exemple simple pour la convolution linéaire :

Signal 1 : [1, 2, 3]

Signal 2 : [0, 1, 0,5]

Dans ce diagramme, le signal bleu est notre première entrée, le signal rouge est notre deuxième entrée (retournée), et le signal violet en bas est le résultat de leur convolution linéaire. Nous faisons glisser le signal rouge sur le bleu, multiplions les parties qui se chevauchent et les additionnons pour obtenir chaque point du signal violet.

Convolution Circulaire

La convolution circulaire est similaire à la convolution linéaire, mais elle traite les signaux comme s'ils étaient périodiques. Ceci est particulièrement utile dans les applications de traitement du signal impliquant des transformées de Fourier.

Étapes de Calcul (Convolution Circulaire)

1. Prenez vos deux signaux d'entrée de longueur égale
2. Complétez le signal le plus court avec des zéros si les longueurs diffèrent
3. Retournez (inversez) l'un des signaux
4. Faites tourner le signal retourné et multipliez-le avec l'autre signal
5. Additionnez les produits pour chaque rotation
6. Répétez pour toutes les rotations pour obtenir le signal convolué circulairement complet

Exemple et Représentation Visuelle de la Convolution Circulaire

Utilisons un exemple simple pour la convolution circulaire :

Signal 1 : [1, 2, 3]

Signal 2 : [1, 1, 0]

Dans cette représentation circulaire, le Signal 1 est affiché en bleu et le Signal 2 inversé en rouge. Pour la convolution circulaire, nous faisons tourner le signal rouge et multiplions les valeurs correspondantes avec le signal bleu, puis nous additionnons. Ce processus est répété pour chaque rotation.

Le résultat de la convolution circulaire serait : [4, 5, 3]

• 4 = 1*1 + 2*1 + 3*0
• 5 = 1*0 + 2*1 + 3*1
• 3 = 1*1 + 2*0 + 3*1

Cette méthode circulaire garantit que le signal de sortie a la même longueur que les signaux d'entrée, ce qui est particulièrement utile dans certaines applications de traitement du signal.