Calculateur du Théorème Binomial

Qu'est-ce que le Théorème Binomial ?

Le Théorème Binomial est comme une formule magique qui nous aide à développer des expressions à deux termes (appelées binômes) lorsqu'elles sont élevées à une puissance. C'est comme avoir une clé spéciale pour déverrouiller un puzzle mathématique !

Comment calculer en utilisant le Théorème Binomial

Pour utiliser le Théorème Binomial, nous décomposons l'expression en parties puis nous les combinons d'une manière spéciale. C'est comme démonter un jouet et le remonter sous une nouvelle forme excitante !

Formule

Le Théorème Binomial s'écrit comme ceci :

\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \]

Décomposons-le :

• \(x\) et \(y\) sont les deux termes de notre binôme
• \(n\) est la puissance à laquelle nous élevons notre binôme
• \(\sum\) signifie que nous additionnons tous les termes
• \(\binom{n}{k}\) est un nombre spécial appelé coefficient binomial
• \(k\) va de 0 à \(n\), nous donnant tous nos termes

Étapes de calcul

1. Identifiez les deux termes (\(x\) et \(y\)) et la puissance (\(n\))
2. Écrivez chaque terme en utilisant la formule
3. Calculez les coefficients binomiaux \(\binom{n}{k}\)
4. Multipliez les coefficients, les termes \(x\) et \(y\)
5. Additionnez tous les termes

Exemple et représentation visuelle

Développons \((x + 2)^3\) en utilisant le Théorème Binomial :

\[ (x + 2)^3 = \binom{3}{0}x^3 + \binom{3}{1}x^2(2) + \binom{3}{2}x(2)^2 + \binom{3}{3}(2)^3 \]

\[ = 1x^3 + 3x^2(2) + 3x(4) + 1(8) \]

\[ = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]

Visualisons cela avec une image :

Dans cette image, chaque boîte colorée représente un terme de notre expression développée. Le Théorème Binomial nous aide à trouver toutes ces pièces et à les assembler !