Calculateur d'angle de vecteur 3D : Trouver l'angle entre les vecteurs a et b

Qu'est-ce qu'un angle de vecteur 3D ?

Imaginez que vous êtes dans une grande pièce tenant deux baguettes magiques. Ces baguettes sont nos vecteurs 3D ! L'angle du vecteur 3D est comme l'espace entre vos baguettes lorsque vous les pointez dans différentes directions. Il nous indique à quel point les baguettes sont éloignées l'une de l'autre dans la pièce.

Comment calculer l'angle du vecteur 3D

Pour trouver l'angle entre nos baguettes magiques (vecteurs 3D), nous utilisons une astuce mathématique spéciale appelée le produit scalaire. C'est comme demander à nos baguettes à quel point elles sont d'accord l'une avec l'autre. Plus elles sont d'accord, plus l'angle entre elles est petit !

Formule

Si nous avons deux vecteurs 3D \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) et \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\), l'angle \(\theta\) entre eux est :

\[ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) \]

Où :

• \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) est le produit scalaire de nos vecteurs
• \(|\vec{a}|\) est la longueur du vecteur \(\vec{a}\) (sa magnitude)
• \(|\vec{b}|\) est la longueur du vecteur \(\vec{b}\) (sa magnitude)
• \(\arccos\) est la fonction cosinus inverse

Étapes de calcul

1. Trouvez le produit scalaire : \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)
2. Calculez les magnitudes : \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\) et \(|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\)
3. Divisez le produit scalaire par le produit des magnitudes
4. Utilisez une calculatrice pour trouver l'arccos (cosinus inverse) du résultat
5. Si vous voulez la réponse en degrés, multipliez par 180/π

Exemple

Trouvons l'angle entre deux baguettes magiques : \(\vec{a} = (1, 2, 2)\) et \(\vec{b} = (3, 1, 1)\)

1. Produit scalaire : \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \times 3) + (2 \times 1) + (2 \times 1) = 3 + 2 + 2 = 7\)
2. Magnitudes : \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\) et \(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{11}\)
3. \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{7}{3\sqrt{11}} \approx 0,7025\)
4. \(\theta = \arccos(0,7025) \approx 0,7855\) radians
5. En degrés : \(0,7855 \times \frac{180}{\pi} \approx 45,00°\)

Donc, l'angle entre nos baguettes magiques \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) est d'environ 45° !

Représentation visuelle