Calculateur de Projection Vectorielle 3D

Qu'est-ce que la Projection Vectorielle 3D ?

Imaginez que vous projetez une lumière sur un mur. L'ombre que vous voyez est comme une projection vectorielle ! Dans l'espace 3D, la projection vectorielle est comme trouver l'ombre d'un vecteur sur un autre. Elle nous montre quelle partie d'un vecteur pointe dans la même direction qu'un autre.

Comment Calculer la Projection Vectorielle 3D

Pour trouver la projection, nous utilisons une astuce mathématique spéciale. Nous prenons deux vecteurs, les multiplions d'une manière particulière (appelée produit scalaire), puis divisons par la longueur d'un vecteur au carré. Cela nous donne un nouveau vecteur qui pointe dans la même direction que l'un de nos vecteurs originaux.

Formule

Si nous avons deux vecteurs 3D \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), la projection de \(\vec{a}\) sur \(\vec{b}\) est :

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2} \vec{b} \]

Où :

• \(\vec{a}\) est le vecteur projeté
• \(\vec{b}\) est le vecteur sur lequel nous projetons
• \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) est le produit scalaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
• \(\|\vec{b}\|\) est la magnitude (longueur) du vecteur \(\vec{b}\)

Étapes de Calcul

1. Calculer le produit scalaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) : \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)
2. Calculer la magnitude de \(\vec{b}\) au carré : \(\|\vec{b}\|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\)
3. Diviser le produit scalaire par la magnitude au carré : \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\)
4. Multiplier ce scalaire par \(\vec{b}\) pour obtenir le vecteur de projection

Exemple

Projetons \(\vec{a} = (3, 1, 2)\) sur \(\vec{b} = (2, 2, 1)\)

1. Calculer le produit scalaire : \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(2) + (2)(1) = 6 + 2 + 2 = 10\)
2. Calculer \(\|\vec{b}\|^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9\)
3. Diviser : \(\frac{10}{9}\)
4. Multiplier par \(\vec{b}\) : \(\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{10}{9}(2, 2, 1) = (\frac{20}{9}, \frac{20}{9}, \frac{10}{9}) \approx (2.22, 2.22, 1.11)\)

Représentation Visuelle