Calculateur de Normalisation de Vecteur 3D

Qu'est-ce qu'un Vecteur 3D Normalisé ?

Imaginez que vous ayez une flèche magique qui peut pointer dans n'importe quelle direction dans l'espace. Un vecteur normalisé, c'est comme rendre cette flèche toujours de la même longueur, peu importe la direction dans laquelle elle pointe. C'est comme avoir une baguette magique de taille standard qui peut montrer n'importe quelle direction !

Comment Calculer un Vecteur 3D Normalisé

Pour normaliser un vecteur 3D, nous lui donnons une longueur d'exactement 1 unité. C'est comme réduire ou étirer notre flèche magique pour qu'elle fasse toujours 1 unité de long. Nous faisons cela en divisant chaque partie du vecteur par sa magnitude (sa longueur originale).

Formule

Si nous avons un vecteur 3D \(\vec{v} = (x, y, z)\), sa forme normalisée \(\hat{v}\) est :

\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right) \]

Où :

• \(x\), \(y\), et \(z\) sont les composantes originales du vecteur
• \(|\vec{v}|\) est la magnitude (longueur) du vecteur original
• \(\hat{v}\) est le vecteur normalisé (a toujours une magnitude de 1)

Étapes de Calcul

1. Calculez la magnitude du vecteur original : \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
2. Divisez chaque composante par la magnitude : \(\hat{x} = \frac{x}{|\vec{v}|}\), \(\hat{y} = \frac{y}{|\vec{v}|}\), \(\hat{z} = \frac{z}{|\vec{v}|}\)
3. Le vecteur normalisé est \(\hat{v} = (\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})\)

Exemple

Normalisons le vecteur \(\vec{v} = (3, 4, 5)\)

1. Calculons la magnitude : \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7,07\)
2. Divisons chaque composante par 7,07 :
   \(\hat{x} = \frac{3}{7,07} \approx 0,42\)
   \(\hat{y} = \frac{4}{7,07} \approx 0,57\)
   \(\hat{z} = \frac{5}{7,07} \approx 0,71\)
3. Le vecteur normalisé est \(\hat{v} \approx (0,42, 0,57, 0,71)\)

Représentation Visuelle