Calculateur d'Angle entre Deux Vecteurs

Qu'est-ce que l'angle entre deux vecteurs ?

L'angle entre deux vecteurs est comme mesurer l'écart entre deux flèches pointant dans des directions différentes. Imaginez que vous tenez deux bâtons dans vos mains, pointant dans des directions différentes. L'espace entre ces bâtons est l'angle dont nous parlons !

Comment calculer l'angle entre deux vecteurs

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs, nous utilisons une astuce mathématique spéciale appelée le produit scalaire. C'est comme une poignée de main secrète entre les vecteurs qui nous indique à quel point ils sont similaires. Plus ils sont similaires, plus l'angle entre eux est petit !

Formule

Si nous avons deux vecteurs $\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)$ et $\overrightarrow{b}=(b_x,b_y)$, l'angle $\theta$ entre eux est :

$$\theta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\right)$$

Où $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ est le produit scalaire, et $|\overrightarrow{a}|$ et $|\overrightarrow{b}|$ sont les magnitudes (longueurs) des vecteurs.

Étapes de calcul

1. Calculer le produit scalaire : $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y$
2. Trouver les magnitudes : $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ et $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}$
3. Diviser le produit scalaire par le produit des magnitudes
4. Prendre l'arccos (cosinus inverse) du résultat
5. Convertir en degrés si nécessaire (multiplier par 180/π)

Exemple

Trouvons l'angle entre $\overrightarrow{a}=(3,4)$ et $\overrightarrow{b}=(1,2)$

1. Produit scalaire : $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(3\times 1)+(4\times 2)=3+8=11$
2. Magnitudes : $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
3. $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{11}{5\sqrt{5}}\approx 0,9838$
4. $\theta =\arccos (0,9838)\approx 0,1028$ radians
5. En degrés : $0,1028\times \frac{180}{\pi }\approx 5,89°$

Donc, l'angle entre $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ est d'environ 5,89°

Représentation visuelle