Calculateur de Normalisation de Vecteur 2D

Calculateur de Normalisation de Vecteur 2D

Qu'est-ce qu'un Vecteur 2D Normalisé ?

Imaginez que vous avez une voiture jouet qui peut rouler dans n'importe quelle direction sur une table plate. Un vecteur normalisé, c'est comme donner à votre voiture une quantité standard de carburant, de sorte qu'elle roule toujours exactement une unité de distance, quelle que soit la direction dans laquelle vous la pointez. Il conserve la direction de votre vecteur original mais change sa longueur à exactement 1.

Comment Calculer un Vecteur 2D Normalisé

Pour normaliser un vecteur 2D, nous suivons ces étapes simples :

• Déterminer la longueur de notre vecteur original (sa magnitude)
• Diviser chaque partie de notre vecteur (x et y) par cette longueur

Cela nous donne un nouveau vecteur pointant dans la même direction, mais avec une longueur de 1.

Formule

Pour un vecteur \(\vec{v} = (x, y)\), sa forme normalisée \(\hat{v}\) est :

\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \]

Où :

• \(\vec{v}\) est notre vecteur original
• \(|\vec{v}|\) est la magnitude (longueur) de notre vecteur original
• \(x\) et \(y\) sont les composantes de notre vecteur original
• \(\hat{v}\) est notre vecteur normalisé (a toujours une longueur de 1)

Étapes de Calcul

1. Notez les composantes x et y de votre vecteur
2. Calculez la magnitude : \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
3. Divisez x par la magnitude : \(\frac{x}{|\vec{v}|}\)
4. Divisez y par la magnitude : \(\frac{y}{|\vec{v}|}\)
5. Votre vecteur normalisé est \(\hat{v} = (\frac{x}{|\vec{v}|}, \frac{y}{|\vec{v}|})\)

Exemple

Normalisons le vecteur \(\vec{v} = (3, 4)\)

1. Nous avons \(\vec{v} = (3, 4)\)
2. Calculons la magnitude : \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
3. Normalisons x : \(\frac{3}{5} = 0,6\)
4. Normalisons y : \(\frac{4}{5} = 0,8\)
5. Notre vecteur normalisé est \(\hat{v} = (0,6, 0,8)\)

Donc, la forme normalisée de \(\vec{v}\) est (0,6, 0,8).

Représentation Visuelle